Section 1.1
Définition et mécanique
Question essentielle
Comment fonctionne le zéro-coupon, et à quoi sert-il dans un produit structuré ?
La grande majorité des produits structurés comportent une obligation zéro-coupon : une obligation qui ne verse aucun intérêt en cours de vie et rembourse 100 % du nominal à l’échéance.
Définition
Une obligation zéro-coupon est un titre de créance qui ne verse aucun coupon en cours de vie et donne droit au remboursement du nominal à une date unique, son échéance. Sa valeur se déduit d’un seul flux futur actualisé au taux de l’émetteur sur la maturité considérée.
Un zéro-coupon peut se présenter de deux façons. Soit il rembourse 100 à l’échéance et s’achète donc en dessous de 100 (discount), dans un univers de taux positifs. Soit il s’achète à 100 et rembourse 100 augmenté des intérêts capitalisés. Les deux formes décrivent le même fonctionnement ; nous verrons tout au long du programme que dans la plupart des cas, intellectuellement nous utilisons la version à "discount" pour la construction des produits structurés.
Comment calcule-t-on son prix ?
La valeur d’un zéro-coupon aujourd’hui est sa valeur attendue à l’échéance, actualisée. Le taux d’actualisation est celui de l’émetteur sur la maturité considérée.
Imaginons que nous souhaitions calculer le prix d’un zéro-coupon qui rembourse 100 dans 5 ans, avec des taux à 3,3 % p.a. :
P = N × e−r×T
Toute la difficulté du pricing de l'obligation zéro coupon tient dans le choix du taux d'intérêt r. Nous y consacrons les sections 1.2 et 1.3.
Le calcul de tête
Il est utile de pouvoir estimer rapidement le prix d’un zéro-coupon. À cet effet, on utilise une approximation : l’escompte vaut à peu près r × T. Notre ZC 5 ans à 3,3 % ? Escompte ≈ 16,5 % (3.3 % x 5), donc prix ≈ 83,5. C’est faux de 1,3 %, mais cela permet de faire une approximation rapide.
P ≈ N × (1 − r × T)
| Taux r | Maturité T | r × T | Calcul de tête | Formule exacte | Écart |
|---|---|---|---|---|---|
| 1,0 % | 2 ans | 2,0 % | 98,00 | 98,02 | −0,02 |
| 2,0 % | 3 ans | 6,0 % | 94,00 | 94,18 | −0,18 |
| 3,0 % | 5 ans | 15,0 % | 85,00 | 86,07 | −1,07 |
| 3,3 % | 5 ans | 16,5 % | 83,50 | 84,79 | −1,29 |
| 5,0 % | 7 ans | 35,0 % | 65,00 | 70,47 | −5,47 |
| 4,0 % | 10 ans | 40,0 % | 60,00 | 67,03 | −7,03 |
| 5,0 % | 15 ans | 75,0 % | 25,00 | 47,24 | −22,24 |
Plus les taux seront élevés et/ou la durée longue, et plus l’écart entre l’estimation et la réalité sera important.
Précision utile
Il n’y a pas un taux mais une courbe des taux : le taux 5 ans n’est pas le taux 1 an. Chaque maturité a le sien, et la courbe peut être plate, pentue ou inversée. Le r unique que nous utilisons ici est le taux de la maturité du produit : c’est le seul qui compte pour un flux unique.
Comment fonctionne le zéro-coupon durant sa vie ?
Le zéro-coupon est liquide : l’investisseur peut sortir avant l’échéance, et le titre a donc un prix à tout moment de sa vie. Ce prix se calcule sur la durée résiduelle et sur les taux du jour.
En prenant pour hypothèse que les taux ne bougent pas, la valorisation du zéro-coupon va tendre, en ligne droite, vers son prix de remboursement.
En pratique, la valeur du zéro-coupon ne va jamais monter en ligne droite et son prix va se modifier non seulement en fonction du temps qui passe, mais aussi en fonction du mouvement de taux. Par exemple, si 2 ans après le lancement de notre zéro-coupon, les taux ne sont plus de 3,3 % mais de 4,5 %, le prix ne sera pas de 90,57 %, mais de 87,37 %.
Un seul flux, actualisé : la version « discount »
Exemple : nominal 100, maturité 5 ans, taux émetteur 3,3 % p.a. Le trait plein foncé est la trajectoire théorique, celle que suivrait le titre si les taux restaient à 3,3 % : elle rejoint 100 sans accident, en passant par 90,57 au bout de deux ans. Le trait rouge est le prix observé : il bouge en continu avec les taux, vaut 87,37 à deux ans après leur remontée à 4,5 %, et repasse au-dessus de la trajectoire théorique lorsque les taux redescendent. Les deux se rejoignent nécessairement à 100 à l’échéance. Vous manipulerez ces paramètres dans le simulateur de la section 1.4.
À quoi sert le zéro-coupon dans un produit structuré ?
Cette brique n’a pas toujours le même rôle final. Dans un produit à capital garanti, elle sert à garantir un niveau de capital déterminé à l’échéance. Dans un produit qui vend de l’optionalité, une Reverse Convertible par exemple, elle sert de collatéral à l’engagement pris par l'investisseur. Voir partie 5
Nous aurons aussi l'occasion de revenir dans le détail, pour chacun des produits que nous étudierons, sur le rôle et l'impact du Zéro Coupon dans le fonctionnement du produit, dans les prochains chapitres.
A ce stade, gardons en tete, que ce zéro coupon, ou plus communément, la composante taux, est une partie intégrantes des produits structurés.
Tous les produits que nous verrons dans la suite du programme reposent sur cette brique. Nous la retrouverons dans chacun d’eux, avec ses deux fonctions, garantie ou collatéral, et avec ses sensibilités aux paramètres de marché : la durée, le niveau des taux et le financement de l’émetteur.
Message clé
Un zéro-coupon n’a qu’un seul flux : le nominal à l’échéance. Son prix aujourd’hui est ce nominal actualisé ; l’écart entre les deux correspond au rendement de l’investisseur.
Question de réflexion
Deux zéro-coupons du même émetteur, l’un à 2 ans, l’autre à 10 ans. Lequel s’achète le plus bas, et pourquoi ? Faites les deux calculs de tête à 3 %, puis vérifiez avec la formule : sur lequel l’approximation vous trompe-t-elle le plus ?
Question 1 / 5
Un zéro-coupon de nominal 100 à 5 ans est émis par une banque. Qu’est-ce qui le distingue d’une obligation classique de même maturité ?
Question 2 / 5
Le taux de l’émetteur sur 5 ans est de 3,30 %, en composition continue. Quel est le prix du zéro-coupon de nominal 100 ?
Question 3 / 5
Vous voulez estimer ce prix de tête, sans calculatrice. Que vaut l’approximation, et dans quel sens se trompe-t-elle ?
Question 4 / 5
Deux ans après l’émission, les taux de l’émetteur sont passés de 3,30 % à 4,50 %. Le zéro-coupon cote 87,37. Comment lire cet écart avec la trajectoire théorique de 90,57 ?
Question 5 / 5
Dans quel but retrouve-t-on cette brique dans les produits structurés étudiés dans la suite du programme ?