Section 1.2
Les trois moteurs du prix
Question essentielle
Quels sont les facteurs qui permettent de calculer le prix d’un zéro-coupon ?
Comme vu dans le chapitre précédent, le prix du zéro-coupon est fonction de sa durée et du taux d’actualisation.
Ce taux d’actualisation est en réalité composé de deux parties distinctes : le taux sans risque et la prime de risque de l’émetteur. Le prix d’un zéro-coupon dépend donc de trois facteurs.
r = taux sans risque + prime de risque de l’émetteur
Trois facteurs, trois sensibilités
Le prix du zéro-coupon réagit à l’évolution de chacun de ces trois facteurs indépendants. Un allongement de la durée, une hausse des taux ou une dégradation perçue de l’émetteur font tous baisser le prix.
1 · La durée
Durée ↑ → prix ↓
Le prix baisse quand la durée s’allonge : chaque année supplémentaire éloigne le remboursement d’une capitalisation. Si on allonge la durée d’une année, toutes choses égales par ailleurs, le prix du zéro-coupon 100 / 5 ans à 3,30 % passe de 84,79 % à 82,04 %.
2 · Le taux sans risque
Taux ↑ → prix ↓
Le prix baisse quand le taux de référence de la devise monte. Si le taux sans risque monte de 100 points de base, le prix du même zéro-coupon 100 / 5 ans passe de 84,79 % à 80,65 %.
3 · La prime de risque
Prime ↑ → prix ↓
Le prix baisse également quand la prime de risque augmente. Si la prime de risque monte de 100 points de base, le prix du même zéro-coupon 100 / 5 ans passe de 84,79 % à 80,65 %.
Table du prix d’un zéro-coupon en fonction de la durée et du taux applicable
| Maturité | 0 % | 1 % | 2 % | 3 % | 4 % | 5 % |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 an | 100,00 | 99,00 | 98,02 | 97,04 | 96,08 | 95,12 |
| 2 ans | 100,00 | 98,02 | 96,08 | 94,18 | 92,31 | 90,48 |
| 3 ans | 100,00 | 97,04 | 94,18 | 91,39 | 88,69 | 86,07 |
| 5 ans | 100,00 | 95,12 | 90,48 | 86,07 | 81,87 | 77,88 |
| 7 ans | 100,00 | 93,24 | 86,94 | 81,06 | 75,58 | 70,47 |
| 10 ans | 100,00 | 90,48 | 81,87 | 74,08 | 67,03 | 60,65 |
Quid en cas de taux négatif ?
Rien n’impose que r soit positif. Dans un environnement de taux négatifs, que la zone euro et la Suisse ont connu de 2015 à 2022, le prix du zéro-coupon peut dépasser 100 % du nominal : à −0,40 % sur cinq ans, il vaut 102,02. L’investisseur paie alors plus que ce qu’il récupérera à l’échéance, et le budget disponible pour les options devient négatif.
Sensibilité aux taux et convexité
Dire que le prix baisse quand les taux montent ne suffit pas : il faut pouvoir évaluer de combien, afin de mesurer l’exposition du produit à ce facteur et le risque associé. L’unité de mesure employée sur les marchés de taux est la DV01 (dollar value of 1 basis point) : la variation de prix du zéro-coupon pour une hausse d’un point de base, soit 0,01 %, du taux d’actualisation.
Sur notre zéro-coupon de référence, 100 à 5 ans à 3,30 %, un point de base de taux en plus fait passer le prix de 84,7894 % à 84,7470 %. La DV01 vaut donc environ 0,042 % du nominal, soit quatre centimes environ pour 100 de nominal. Elle est proportionnelle à la durée résiduelle : un zéro-coupon 10 ans a une DV01 environ deux fois plus élevée qu’un 5 ans.
La DV01 se calcule directement à partir du prix et de la durée résiduelle, et la variation de prix pour un mouvement de taux quelconque s’en déduit en la multipliant par le nombre de points de base du mouvement.
DV01 ≈ P × T × 0,0001
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Prix de départ | 100 × e−0,033 × 5 | 84,79 % |
| DV01 | 84,79 × 5 × 0,0001 | 0,0424 % |
| Ampleur du mouvement | Δr | 50 bp |
| Variation estimée | − DV01 × 50 | − 2,12 % |
| Nouveau prix estimé | 84,79 − 2,12 | 82,67 % |
| Prix exact recalculé | 100 × e−0,038 × 5 | 82,70 % |
L’estimation annonce 82,67 % quand le prix exact est 82,70 % : trois centièmes de % d’écart pour un choc de 50 points de base. Pour de petites variations de taux, la sensibilité suffit à estimer le nouveau prix. En revanche, plus le choc est important, plus cette approximation s’écarte du prix réel. Cela s’explique par la convexité
En effet, la sensibilité n’est pas stable. La DV01 est calculée à partir du prix, or le prix change dès que les taux bougent. Sur notre 10 ans, une hausse de 100 points de base coûte 7,19 % de prix au départ ; mais une fois le prix tombé à 65,05, les 100 points de base suivants n’en coûtent plus que 6,51 %. Chaque tranche de hausse pèse un peu moins que la précédente, et symétriquement chaque tranche de baisse rapporte un peu plus.
La DV01 décrit donc la pente de la courbe au point où l’on se trouve. Elle est exacte pour une variation infinitésimale, et elle se dégrade dès que le mouvement s’élargit, parce qu’elle suppose une pente constante. La convexité est précisément la mesure de cette dérive : elle quantifie à quelle vitesse la sensibilité elle-même diminue quand les taux montent. Graphiquement, la relation prix / taux est une courbe incurvée vers le haut, et la DV01 en est la tangente : la droite passe toujours sous la courbe, dans les deux directions.
L’écart joue par conséquent toujours en faveur du détenteur, et il croît avec la maturité comme avec l’amplitude du choc.
Prix d’un zéro-coupon 10 ans en fonction du taux
Nominal 100, maturité 10 ans, taux de 0 à 10 %. La courbe du prix exact est incurvée vers le haut ; la tangente au point 3,30 % / 71,89 est la droite que trace la DV01. Les deux coïncident au point de tangence et s’écartent de part et d’autre, la droite passant toujours en dessous. À 8 %, la tangente annonce 38,10 quand le prix réel vaut 44,93, soit près de 7 % d’écart : c’est la limite de l’approximation linéaire, et la raison pour laquelle la convexité doit être prise en compte sur les grands mouvements.
À retenir pour la suite
Un capital garanti à 10 ans contient un ZC à 10 ans, dont la DV01 est deux fois celle d’un 5 ans. Il est donc très sensible à l'évolution des taux, un fait que la mention « capital garanti » fait souvent oublier à l'investisseur qui consulterait son relevé de portefeuille après une hausse de taux. Nous y revenons en section 1.6.
Message clé
Trois paramètres, durée, taux sans risque et prime de risque, font tous baisser le prix quand ils montent. Sur le marché secondaire, le prix converge vers 100 mais réagit à l’inverse des taux.
Question de réflexion
Vous détenez un capital garanti 10 ans émis il y a deux ans, quand les taux étaient à 1 %. Ils sont aujourd’hui à 4 %. Votre relevé affiche une valeur bien inférieure à 100 alors que le sous-jacent n’a pas bougé. La perte en mark to market est réelle et immédiate. Que devient-elle si vous conservez le produit jusqu’à l’échéance ?
Question 1 / 5
De quoi est composé le taux d’actualisation utilisé pour valoriser un zéro-coupon d’émetteur bancaire ?
Question 2 / 5
Le taux sans risque à 5 ans monte de 100 points de base, la prime de risque de l’émetteur restant inchangée. Le prix du zéro-coupon 100 / 5 ans passe de 84,79 % à 80,65 %. Qu’aurait donné une hausse de 100 points de base de la seule prime de risque ?
Question 3 / 5
Que mesure la DV01 d’un zéro-coupon ?
Question 4 / 5
Deux zéro-coupons du même émetteur, l’un à 5 ans, l’autre à 10 ans. Que peut-on dire de leurs DV01 ?
Question 5 / 5
Sur le zéro-coupon 100 / 5 ans à 3,30 %, l’estimation par la DV01 annonce 82,67 % après une hausse de 50 points de base, alors que le prix exact est 82,70 %. D’où vient cet écart ?